Le théorème de Morton

A. Morton, aujourd'hui disparu, est l’auteur d’un message publié sur le forum R.G.P. en réponse à un article de M. Caro paru dans le magazine Cardplayer qui affirmait que raiser en early position est souvent une erreur aux basses limites où raiser ne permet que dans de rares situations de diminuer le nombre de joueurs qui seront présents aux tours suivants.

A. Morton en apportant la contradiction à M. Caro a démontré à quelle stratégie devait avoir recours les joueurs de no foldem holdem pour maximiser leur profit. En effet, bien souvent, aux basses limites, un joueur détenant une made hand au flop se trouve confronté à de multiples adversaires qui vont caller y compris avec de weak draws.





Dans son post, A. Morton a d’abord rappelé le contenu du théorème fondamental du poker tel qu’énoncé par D. Sklansky dans The Theory of poker. Le théorème énonce qu’un joueur a toujours intérêt à ce qu’un adversaire suive alors qu’il devait folder, ainsi chaque erreur d’un adversaire améliore la situation des autres joueurs. Ensuite, A. Morton fait apparaître que ce théorème s’applique effectivement en head up où lorsqu’un joueur commet une erreur, son adversaire en tire immédiatement avantage. Puis, A. Morton démontre que ce théorème est inopérant en multiway pot. En effet, dans ce type de situation, le joueur disposant de la meilleure main au flop ne bénéficie que partiellement des erreurs de ses adversaires.

En effet, il n’est pas le seul à tirer profit des erreurs des adversaires, si deux joueurs jouent correctement, ils vont tous les deux tirer profit des erreurs du troisième joueur. A contrario, la présence de plusieurs weak draws dans le coup atténue l'erreur individuelle de chaque weak draw. De surcroît, A. Morton indique que dans ce type de situation ou s’oppose une made hand (ex :top paire), un tirage légitime (flush draw) et un weak draw (5 outs ou moins), si le joueur avec le weak draw call incorrectement au flop, le joueur ayant le tirage légitime tire davantage profit des erreurs du weak draw que le joueur ayant une made hand car le joueur ayant un bon tirage garde toujours ses outs. En conséquence, le principal apport d’A. Morton est qu’il à fait apparaître que dans certaines situations, le joueur ayant la meilleure main à intérêt à ce que un joueur n’ayant pas un pot odds suffisant pour caller fold correctement sa main. Ainsi, la meilleure main réalise un profit plus important lorsque ses adversaires fold correctement.



Pour illustrer son analyse, A. Morton donne l’exemple suivant : sur un tableau K♠9♥3♥6◊ dans un pot contenant P big bets s’opposent 3 joueurs ayant respectivement A◊K♣, A♥T♥ et Q♣9♣. A. Morton examine les différentes possibilités en considérant que A♥T♥ aura toujours un pot odds suffisant pour caller. En premier lieu, il examine l’intérêt de Q♣9♣ à rester dans le coup dans différentes situations. Le premier cas est celui ou A◊K♣ bets, A♥T♥ call et Q♣9♣ fold.


E (Q♣9♣ /fold) = 0
Ici, l’e.v. de Q9o est nécessairement nulle. Ensuite, il étudie le cas ou A◊K♣ bets, A♥T♥ call et Q♣9♣ call.



E (Q♣9♣ /call) = (4/46) * (P+2) - (42/46)
Dans ce cas Q♣9♣, n’ayant que 4 outs, ne doit caller que lorsque le pots odds offert est supérieur à 8.5 big bets pour avoir une e.v. positive (P+2= (42 / 46) * (46 / 4) ; P= 8.5) Ainsi, A◊K♣ n’a pas intérêt à offrir un pot de 8.5 big bets à Q♣9♣. Ensuite, A. Morton analyse la situation de A◊K♣, lorsque Q♣9♣ fold


E (A◊K♣ /fold) = (37/46) * (P+2)
puis lorsque Q♣9♣ call


E (A◊K♣ /call) = (33/46) * (P+3)
A◊K♣ conserve une e.v. positive dans les deux situations que Q♣9♣ call ou fold. Et peu importe que Q♣9♣ call ou fold lorsque le pot contient 6.25 big bets (P= (99-74) / 4 ; P= 6.25). Dès que le pot contient moins de 6.25 big bets Q♣9♣ commet une erreur conforme au théoreme du poker en callant. Cependant, lorsque le pot contient plus de 6.25 big bets, A◊K♣ à intérêt à ce que Q♣9♣ fold -correctement-.




En conséquence, il existe des pots d’une certaine taille, dans l’exemple, entre 6.25 big bets et 8.5 big bets où A◊K♣ maximise ses gains lorsque le weak draw fold correctement. Dans un autre exemple, le tableau donne K◊Q◊5♠4♥ et trois joueurs s'affrontent avec K♠2♥, 7◊2◊ et J♠T♥. Dans cette situation 6 cartes permettent à J♠T♥ de remporter le pot, 9 permettent à 7◊2◊ de s’imposer et et 27 cartes offrent la victoire à K♠2♥. Ainsi, 7◊2◊ a toujours intérêt à ce que J♠T♥ call dès lors que cela contribue à grossir le pot sans diminuer les chances de 7◊2◊ de s’imposer (en duel ou en truel, 7◊2◊ conserve ses 9 outs). Lorsque le pot contient plus de $12, J♠T♥ a intérêt à caller pour $2 et si le pot contient moins de $12, J♠T♥ a intérêt à folder. La top paire quant à elle à intérêt à ce que J♠T♥ call incorrectement si le pot n’atteint pas $9. Par contre, entre $9 et $12, il s’agit d’une zone mortonienne où K♠2♥ a intérêt à ce que J♠T♥ fold correctement. En pratique, il convient donc de jouer agressivement les made hands en loose games, pour dépasser la "morton zone" et faire en sorte que la présence de weak draws à la fin du coup soit source de profit.



Dès lors, le théoreme fondamental du poker est inapplicable en multiway pot. Dès lors, certains ont proposé de lui substituer le "Abdul/Maurer Probabilistic Fundamental Theorem of Poker" selon lequel "Every time you play your hand differently than you would have played had you known the true probability distribution of your opponent's hand given all previous actions, you lose; every time you play your hand the same as you would have played had you known the true probability distribution of your opponent's hand given all previous actions, you gain."



En conclusion, le théorème d’A. Morton a permi de mettre en exergue que même aux basses limites, la meilleure stratégie vise à jouer agressivement les made hands même si "When many hands with draws are competing on the flop against a semi-strong made hand, the primary beneficiary of the bets is the best draw, not the best hand". Par suite, il apparaît que les loose passive games sont généralement peu profitables pour les joueurs qui ne sont pas assez agressifs puisqu' il y a davantage de chance de rencontrer des situations mortoniennes qu'en standard game. Par contre, le joueur qui à intégré la logique mortonienne peut trouver dans les loose games une réelle source de profit.